Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）．

（Ⅰ）（i）若b=﹣2，且f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；

（ii）若b=﹣1，c=1，当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，求a的最小正整数值．

 

Answer 1

（Ⅰ）（i）[1，+∞）；（ii）（0，1]；（Ⅱ）5

【解析】

试题分析：（Ⅰ）（i）若b=﹣2，则f（x）=ax2﹣2x+c（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线．若f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数,则≤1,解得a≥1,即实数a的取值范围为[1，+∞）;（ii）若b=﹣1，c=1，则f（x）=ax2﹣x+1（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线,若当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，则或解得0＜a＜，或≤a≤1,所以实数a的取值范围为（0，1]；（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，则

解得a＞4，故a的最小正整数值为5.

试题解析：（Ⅰ）（i）若b=﹣2，

则f（x）=ax2﹣2x+c（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线．

若f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，则≤1，解得a≥1，

即实数a的取值范围为[1，+∞）

（ii）若b=﹣1，c=1，

则f（x）=ax2﹣x+1（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线．

若当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，

则或，

解得0＜a＜，或≤a≤1

综上所述：0＜a≤1

即实数a的取值范围为（0，1]

（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，

则

由b2＞4ac＞4a（1﹣a﹣b）得：

b2+4ab+4a2=（b+2a）2＞4a，

即b+2a＞2，

即b＞2﹣2a，…①

由b2＞4ac≥4a得：

b＜﹣2…②

由①②得：

2﹣2a＜﹣2，

解得a＞4，

故a的最小正整数值为5．

考点：1.二次函数的图象与性质;2.不等式的性质