Question

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，…当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中a，b为常数，a₁=0，b₁=1．
（Ⅰ）a=1时，求数列{a_n}与{b_n}的通项；
（Ⅱ）设a＞0且a≠1，若数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；
（Ⅲ）若a＞0，设{a_n}与{b_n}的前n项和分别记为S_n与T_n，求（T₁+T₁+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，数列{a_n}与{b_n}的都是公差为b的等差数列，根据a₁=0，b₁=1可求出数列的通项公式；
（Ⅱ）根据题意，易得

bn

bn-1

=a+

b

bn-1

，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列则

bn

bn-1

为常数，从而求出b；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论易得b_n-a_n=a（b_n-1-a_n-1），可得{b_n-a_n}成等比数列，且公比为a，又由b₁-a₁=1，可得b_n-a_n=a^n-1，
而T_n-S_n=（b₁+b₂+…+b_n）-（a₁+a₂+…+a_n）=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n），分a是否为1，讨论可得T_n-S_n的值，进而可得答案．

解答：解：（I）∵a=1，∴函数f（x）=ax+b在R上是增函数，
∴a_n=a•a_n-1+b=a_n-1+b，b_n=a•b_n-1+b=b_n-1+b，（n≥2），
则数列{a_n}与{b_n}都是公差为b的等差数列，
∵a₁=0，b₁=1，∴a_n=（n-1）b，b_n=1+（n-1）b．
（Ⅱ）∵a＞0，b_n=a•b_n-1+b，
∴

bn

bn-1

=a+

b

bn-1

；
由{b_n}是等比数列，知

b

bn-1

应为常数．
{b_n}是公比不为1的等比数列，则b_n-1不是常数，
必有b=0．
（Ⅲ）∵a＞0，a_n=a•a_n-1+b，b_n=a•b_n-1+b，
两式相减，得b_n-a_n=a（b_n-1-a_n-1），
∴{b_n-a_n}成等比数列，公比为a，b₁-a₁=1，
∴b_n-a_n=a^n-1．
T_n-S_n=（b₁+b₂+…+b_n）-（a₁+a₂+…+a_n）=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n(a=1) 1-an 1-a (a＞0，a≠1)

∴（T₁+T₁+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T_n-S_n）=

n(n+1) 2 (a=1) an+1-(n+1)a+n (1-a)2 (a≠1)

点评：本题综合考查数列与函数，涉及等比数列的性质与数列的求和，（Ⅲ）中求和时，注意要分类讨论．