Question

12．某旅游景点有一处山峰，游客需从景点入口A处向下沿坡角为α的一条小路行进a百米后到达山脚B处，然后沿坡角为β的山路向上行进b百米后到达山腰C处，这时回头望向景点入口A处俯角为θ，由于山势变陡到达山峰D坡角为γ，然后继续向上行进c百米终于到达山峰D处，游览风景后，此游客打算乘坐由山峰D直达入口A的缆车下山结束行程，如图，假设A、B、C、D四个点在同一竖直平面
（1）求B，D两点的海拔落差h；
（2）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）分别过点C，D作CE⊥BE，DF⊥CF，垂足分别为E，F，解三角形可得，
（2）根据余弦定理即可求出．

解答 解：（1）分别过点C，D作CE⊥BE，DF⊥CF，垂足分别为E，F，
在Rt△CBF和Rt△DCF中，CF=bsinβ，DF=csin γ
∴h=CF+DF=bsin β+csin γ．
（2）：联结AC．在△ABC中，由余弦定理得AC²=a²+b²+2abcos（α+β），
在△ACD中，由余弦定理得AD²=AC²+c²-2cACcos（π-γ+θ），
所以AD=α$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+2abcos（α+β）+{c}^{2}+2c\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+2abcos（α+β）}cos（γ-θ）}$．

点评 本题考查了解三角形实际生活中的应用，关键是构造三角形，利用余弦定理，属于基础题．