Question

已知抛物线的方程为y=ax²-1，直线l的方程为y=

x

2

，点A（3，-1）关于直线l的对称点在抛物线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知P=（

1

2

，1），求过点P及抛物线与x轴两个交点的圆的方程；
（3）已知点F（0，-

15

16

）是抛物线的焦点，P（

1

2

，1），M是抛物线上的动点，求|MP|+|MF|的最小值及此时点M的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件求出点A（3，-1）关于直线l的对称点为B（1，3），把点B（1，3）代入y=ax²-1，解得a=4，由此能求出抛物线的方程．
（2）令y=4x²-1=0得x=±

1

2

，设抛物线与x轴的两个交点从左到右分别为C(-

1

2

，0)，D(

1

2

，0)，由已知条件推导出PC为所求圆的直径，由此能求出圆的方程．
（3）由F(0，-

15

16

)是抛物线的焦点，（0，-1）是抛物线的顶点，求出抛物线的准线为x=-

17

16

，过点M作准线的垂线，垂足为A，当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，|MP|+|MF|取最小值，由此能求出结果．

解答： 解：（1）设点A（3，-1）关于直线l的对称点为B（x，y），
则

x+3 2 -2• y-1 2 =0 y+1 x-3 =-2

解得

x=1 y=3

，（2分）
把点B（1，3）代入y=ax²-1，解得a=4，
所以抛物线的方程为y=4x²-1．（4分）
（2）令y=4x²-1=0得x=±

1

2

，
设抛物线与x轴的两个交点从左到右分别为C、D，
则C(-

1

2

，0)，D(

1

2

，0)，（5分）
由题意知△PCD是直角三角形，
∴PC为所求圆的直径，由此得到圆心坐标为(0，

1

2

)，
圆的半径r=

2

2

，（7分）
故所求圆的方程为x2+(y-

1

2

)2=

1

2

．（8分）
（3）∵F(0，-

15

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)是抛物线的焦点，（0，-1）是抛物线的顶点，
∴抛物线的准线为y=-

17

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，（9分）
过点M作准线的垂线，垂足为A，由抛物线的定义知|MF|=|MA|，
∴|MP|+|MF|=|MP|+|MA|≥|PA|，
当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立，（11分）
即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，
|MP|+|MF|取最小值，
∴(|MP|+|MF|)min=1-(-

17

16

)=

33

16

，（13分）
这时点M的坐标为(

1

2

，0)．（14分）

点评：本题考查抛物线方程和圆的方程的求法，考查|MP|+|MF|的最小值及此时点M的坐标的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．