Question

14．若存在n个不同的正整数a₁，a₂，…，a_n，对任意1≤i＜j≤n，都有$\frac{{{a_i}+{a_j}}}{{{a_i}-{a_j}}}$∈Z，则称这n个不同的正整数a₁，a₂，…，a_n为“n个好数”．
（1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；
（2）证明：对任意正整数n（n≥2），均存在“n个好数”．

Answer 1

分析 （1）利用新定义，分别对n=2，n=3构造一组“好数”；
（2）利用数学归纳法进行证明即可．

解答 解：（1）当n=2时，取数a₁=1，a₂=2，因为$\frac{2+1}{1-2}$=3∈Z，
当n=3时，取数a₁=2，a₂=3，a₃=4，则$\frac{2+3}{2-3}$=-5∈Z，$\frac{3+4}{3-4}$=-7∈Z，$\frac{2+4}{2-4}$=-3∈Z，即a₁=2，a₂=3，a₃=4可构成三个好数．
（2）证：①由（1）知当n=2，3时均存在，
②假设命题当n=k（k≥2，k∈Z）时，存在k个不同的正整数a₁，a₂，…，a_k，
使得对任意1≤i＜j≤k，都有$\frac{{{a_i}+{a_j}}}{{{a_i}-{a_j}}}$∈Z成立，
则当n=k+1时，构造k+1个数A，A+a₁，A+a₂，…，A+a_k，（*）
其中A=1×2×…×a_k，
若在（*）中取到的是A和A+a_i，则$\frac{A+A+{a}_{i}}{A-A-{a}_{i}}$=-$\frac{2A}{{a}_{i}}$-1∈Z，所以成立，
若取到的是A+a_i和A+a_j，且i＜j，
则$\frac{A+{a}_{i}+A+{a}_{j}}{A+{a}_{i}-A-{a}_{j}}$=$\frac{2A}{{a}_{i}-{a}_{j}}$+$\frac{{{a_i}+{a_j}}}{{{a_i}-{a_j}}}$，由归纳假设得$\frac{{{a_i}+{a_j}}}{{{a_i}-{a_j}}}$∈Z，
又a_j-a_i＜a_k，所以a_j-a_i是A的一个因子，即$\frac{2A}{{a}_{i}-{a}_{j}}$∈Z，
所以$\frac{A+{a}_{i}+A+{a}_{j}}{A+{a}_{i}-A-{a}_{j}}$=$\frac{2A}{{a}_{i}-{a}_{j}}$+$\frac{{{a_i}+{a_j}}}{{{a_i}-{a_j}}}$∈Z，
所以当n=k+1时也成立．
所以对任意正整数，均存在“n个好数”．

点评 本题考查新定义，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．