Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间与极值；

（2）当时，令，若在上有两个零点，求实数的取值范围；

（3）当时，函数的图像上所有点都在不等式组所表示的平面区域内，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析; （2）;（3）.

【解析】试题分析：（1）代入数据，求导，利用导函数的符号变换确定函数的单调性和极值；（2）代入数据，求导，利用导函数的符号变换确定函数的单调性和极值，再利用极值的符号确定函数的零点；（3）合理构造函数，将不等式恒成立问题转为求函数最值问题，再利用导数求函数的最值.

试题解析：（1）, ,（x>0），当0<x<3时， >0， 在（0,3）单调递增；当x>3时， <0， 在单调递减；所以函数的单调递增区间是（0,3），单调递减区间是，所以函数的极大值是，无极小值．

（2）当时， ，则.∵，∴当时， .当时， ；当时， .故在处取得极大值.又， ， ，则，∴在上的最小值是． 在上有两个零点的条件是，解得，∴实数的取值范围是，

（3）由题意得对恒成立，设， ，则， ,求导得，当时，若，则，所以在单调递减， ， 成立，得；当时， ,在单调递增，所以存在，使，则不成立；当时， ，则

在上单调递减， 单调递增，则存在，有，所以不成立，综上得，即．