Question

【题目】如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱是AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四种说法：

（1）平面MENF⊥平面BDD′B′；

（2）当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；

（3）四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；

（4）四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，以上说法中正确的为（　）

A. （2）（3） B. （1）（3）（4） C. （1）（2）（4） D. （1）（2）

Answer 1

【答案】C

【解析】

（1）利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′；（2）四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可；（3）判断周长的变化情况；（4）求出四棱锥的体积，进行判断．

（1）连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以正确；

（2）连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以正确；

（3）因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L＝f（x）不单调．所以错误；

（4）连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V＝h（x）为常函数，所以正确．

故选：C．