Question

已知椭圆的长轴长为，焦点是，点到直线的距离为，过点且倾斜角为锐角的直线与椭圆交于A、B两点，使得|=3|.
(1)求椭圆的标准方程；         
(2)求直线l的方程．

Answer 1

(1) ＋y²＝1；(2) x－y－＝0.

解析试题分析：(1)∵F₁到直线的距离为，∴.
∴a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.
∵椭圆的焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为＋y²＝1  4分
(2)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．由第(1)问知
=3,
∴           6分
∵A、B在椭圆＋y²＝1上，                 
∴l的斜率为
∴l的方程为，即x－y－＝0.   12分
说明：各题如有其它解法可参照给分．
考点：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质，定比分点坐标公式，直线方程。
点评：中档题，涉及求椭圆的标准方程问题，往往联想椭圆的定义，a，b，c，e的关系。求直线方程，这里运用了点斜式，为求直线的斜率，应用定比分点坐标公式及“点差法”。