Question

已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）. (2)满足条件的点有两个.

解析(1)试题分析：解法1：设椭圆的方程为,依题意:    
解得:         ∴ 椭圆的方程为.
解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即， ∵，  ∴.   ∴ 椭圆的方程为.  
(2) 解法1：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去，得.  
设,则.  
由,即得.  
∴抛物线在点处的切线的方程为，即.
∵， ∴.  
同理,得抛物线在点处的切线的方程为.  
由解得 
∴.  ∵,
∴点在椭圆上.  ∴.
化简得.(*) 由, 
可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个.    
解法2：设点,，，由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即.∵， ∴ .
∵点在切线上,  ∴.       ①        
同理， . ② 综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过