Question

1．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁与A₁C相交于点D．
（1）求证：BD⊥A₁C；
（2）若E在棱BC₁上，且满足DE∥面ABC，求三棱锥E-ACC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知，可得BD⊥AC₁，结合平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的性质可得BD⊥A₁C；
（2）由题意可得△ABC₁为正三角形，求得$BD=\sqrt{3}$，再由E为BC₁的中点求得E到平面ACC₁的距离，求出△ACC₁的面积，代入棱锥体积公式得答案．

解答 （1）证明：侧面AA₁C₁C是菱形，D是AC₁的中点，∵BA=BC₁，∴BD⊥AC₁，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，且BD?平面ABC₁，平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，则BD⊥A₁C；
（2）解：∵DE∥面ABC，DE?面ABC₁，面ABC₁∩面ABC=AB，∴DE∥AB，
∵点D为AC₁的中点，∴点E为BC₁的中点，
∵AA₁=AC=2，∠AA₁C₁=60°，∴AC₁=2，∵AB=BC₁=2，
∴△ABC₁为正三角形，则$BD=\sqrt{3}$，
∴点E到面ACC₁的距离等于$\frac{1}{2}BD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
${S}_{△AC{C}_{1}}=\frac{1}{2}AC•A{C}_{1}•sin60°=\frac{1}{2}•2•2•\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
∴${V_{E-AC{C_1}}}=\frac{1}{3}sh=\frac{1}{3}•\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查了多面体体积的求法，是中档题．