Question

若a为正整数，函数f（x）=ax²-（a+2）x+1在[0，1]上的最小值为-1，则a=

 

．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得函数的图象的对称轴为x=

1

2

+

1

a

∈（

1

2

，1]，结合题意有f（

1

2

+

1

a

）=-1，由此求得正整数a的值．

解答： 解：若a为正整数，函数f（x）=ax²-（a+2）x+1的对称轴为x=

1

2

+

1

a

＞

1

2

，
且函数在[0，1]上的最小值为-1，显然，a=1不满足，故有a≥2，故

1

2

＜

1

2

+

1

a

≤1．
可得f（

1

2

+

1

a

）=-1，即

4a-(-a-2)2

4a

=-1，解得a=2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．