Question

记Z=

(X-Y)2+( 2 X + Y 2 )2

（X≠0，X∈R，Y∈R），则Z的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：Z表示两点P(X，

2

X

)，Q(Y，-

Y

2

)之间的距离．而点P在曲线C：y=

2

x

上，点Q在直线l：y=-

1

2

x上，如图所示．设直线m∥l且与曲线C相切与P，利用导数可得切点，再利用点到直线的距离公式可得最小值．

解答： 解：Z表示两点P(X，

2

X

)，Q(Y，-

Y

2

)之间的距离．
而点P在曲线C：y=

2

x

上，点Q在直线l：y=-

1

2

x上，如图所示．
设直线m∥l且与曲线C相切与P，
对于曲线C：y′=-

2

x2

，
∴-

2

X2

=-

1

2

，解得X=±2，
可得切点P（2，1），P（-2，-1）．
点P到直线l的距离d=

|2+2|

1+22

=

4 5

5

．
∴Z的最小值是

4 5

5

．
故答案为：

4 5

5

．

点评：本题考查了数形结合思想、利用导数的几何意义可得切线的斜率、点到直线的距离公式，属于中档题．