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    【题目】已知（为常数）.

    （1）求的极值；

    （2）设，记，已知为函数是两个零点，求证： .

    【答案】（1）的极大值为，无极小值;（2）见解析.

    【解析】试题分析：(1) 求导，判断单调性得极值即可.

    (2) 先在上构造函数和比较大小，再在上利用函数单调性得.

    试题解析：（1）,由得，

    且时， ， 时， .

    故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

    所以，函数的极大值为，无极小值.

    （2）由及（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为.

    由条件知，即,

    构造函数,知与图像两交点的横坐标为， ,

    ，由得，易知函数的单调递减区间为，单调递减区间为.

    欲证，只需证，不妨设，

    考虑到在上递增，只需证,

    由知，只需证,

    令，

    则，

    即单调增，注意到，

    结合知，即成立，

    即成立.

    点睛:本题考查的是函数的极值问题和极值点偏移问题.求极值时要注意判断在导数为的点两侧的符号，异号时为极值点，要记得判断是极大值还是极小值 ，否则不是极值点;在第二问极值点偏移中，要解决两个问题，一是在上构造函数和比较大小，二是在上利用函数单调性.

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    赔付金额(元)

    0

    1 000

    2 000

    3 000

    4 000

    车辆数(辆)

    500

    130

    100

    150

    120

    (1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.

    (2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.

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