Question

7．已知O是边长为$2\sqrt{2}$的正方形ABCD的中心，点E、F分别是AD、BC的中点，沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B；
（Ⅰ）求∠EOF的大小；
（Ⅱ）求二面角E-OF-A的余弦值；
（Ⅲ）求点D到面EOF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以O点为原点，以$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OD}$的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的坐标系，求出相关点的坐标，求出$\overrightarrow{OE}=（0，-1，1）$，$\overrightarrow{OF}=（1，1，0）$，然后求解∠EOF的大小．
（Ⅱ）求出平面EOF的法向量，平面FOA的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角E-OF-A的余弦值．（Ⅲ）求出$\overrightarrow{DE}=（0，-1，-1）$，利用空间向量距离公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）以O点为原点，以$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OD}$的方向
为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的坐标系，
则F（1，1，0），E（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{OE}=（0，-1，1）$，$\overrightarrow{OF}=（1，1，0）$，$|{\overrightarrow{OE}}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow{OF}}|=\sqrt{2}$，
∴$cos∠EOF=\frac{{\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}}}{{|{\overrightarrow{OE}}|•|{\overrightarrow{OF}}|}}=-\frac{1}{2}$，∴$∠EOF=\frac{2}{3}π$，
（Ⅱ）设平面EOF的法向量为$\overrightarrow u=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow u•\overrightarrow{OF}=0\\ \overrightarrow u•\overrightarrow{OE}=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}-y+z=0\\ x+y=0\end{array}\right.$，令x=1，则y=-1，z=-1，
得$\overrightarrow u=（1，-1，-1）$，
又平面FOA的法向量 为 $\overrightarrow v=（0，0，1）$，
$|{cos＜\overrightarrow u，\overrightarrow v＞}|=\frac{{|{\overrightarrow u•\overrightarrow v}|}}{{|{\overrightarrow u}||{\overrightarrow v}|}}=\frac{{|{-1}|}}{{1×\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
二面角E-OF-A的余弦值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅲ）∵D（0，0，2），E（0，-1，1），∴$\overrightarrow{DE}=（0，-1，-1）$
∴点D到平面EOF的距离为$d═\frac{{|{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow u}|}}{{|{\overrightarrow u}|}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．