Question

8．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦点分别为F₁，F₂，过右焦点F₂作x轴的垂线，交椭圆于A，B两点．若等边△ABF₁的周长为$4\sqrt{3}$，则椭圆的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
• B． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{6}=1$
• C． $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 求出等边三角形的边长，运用椭圆的定义，可得2a=2$\sqrt{3}$，再由等边三角形的高可得c=1，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程．

解答 解：由题意可得等边△ABF₁的边长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
由椭圆的定义可得2a=AF₁+AF₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
即为a=$\sqrt{3}$，
由F₁F₂=2c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=2，
即有c=1，
则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和等边三角形的性质，考查运算能力，属于基础题．