Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n(n为奇数) an-2n(n为偶数)

；
（1）a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）设b_n=a_2n-2，求证数列{b_n}是等比数列；
（3）在（2）条件下，求证数列{a_n}前100项中的所有偶数项的和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推关系式求数列的通项公式．
（2）根据递推关系式构造关系式证明结论．
（3）利用（2）的结论求出数列的和．

解答： 解：（1）根据数列的递推关系式求得：
a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

，a=-

25

4

，
（2）已知b_n=a_2n-2，
所以：

bn+1

bn

=

1 2 a2n+1+2n+1-2

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

，
b1=a2-2=-

1

2

，
所以：数列{b_n}是以b1=-

1

2

为首，

1

2

为公比的等比数列．
（3）由（2）得：
b=(-

1

2

)(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n=a_2n-2，
所以：a2n=2-(

1

2

)n，
S=a₂+a₄+…+a₁₀₀=2•50-

1 2 (1- 1 250 )

1- 1 2

=99+

1

250

．

点评：本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列的前n项和的应用．属于基础题型．