Question

【题目】如图所示，有、、三座城市，城在城的正西方向，且两座城市之间的距离为；城在城的正北方向，且两座城市之间的距离为.由城到城只有一条公路，甲有急事要从城赶到城，现甲先从城沿公路步行到点（不包括、两点）处，然后从点处开始沿山路赶往城.若甲在公路上步行速度为每小时，在山路上步行速度为每小时，设（单位：弧度），甲从城赶往城所花的时间为（单位：）.

（1）求函数的表达式，并求函数的定义域；

（2）当点在公路上何处时，甲从城到达城所花的时间最少，并求所花的最少的时间的值.

Answer 1

【答案】（1）定义域为（2）点所在的位置为处，甲所花最短时间为.

【解析】试题分析：（1）先在直角三角形中用表示，，再根据时间等于路程除以速度得，最后根据实际意义得定义域，（2）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值取法.

试题解析：解：（1）在中，，，

故.

由图知，，故函数的定义域为

（2）令

则.

令，可得，由可解得.

故函数的增区间为，减区间为

故当时，函数.

故点所在的位置为处，甲所花最短时间为.