Question

已知圆O₁：（x-2）²+y²=16和圆O₂：x²+y²=r²（0＜r＜2），动圆M与圆O₁、圆O₂都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e₁、e₂（e₁＞e₂），则e₁+2e₂的最小值是（　　）

• A、

  3+2 2

  4

• B、

  3

  2

• C、

  2

• D、

  3

  8

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：分别求出e₁、e₂（e₁＞e₂），利用基本不等式求出e₁+2e₂的最小值．

解答： 解：①当动圆M与圆O₁、O₂都相内切时，|MO₂|+|MO₁|=4-r=2a，∴e₁=

2

4-r

．
②当动圆M与圆O₁相内切而与O₂相外切时，|MO₁|+|MO₂|=4+r=2a′，∴e₂=

2

4+r

∴e₁+2e₂=

2

4-r

+

4

4+r

=

24-2r

16-r2

，
令12-r=t（10＜t＜12），e₁+2e₂=2×

1

24-t- 128 t

≥2×

1

24-16 2

=

1

12-8 2

=

3+2 2

4

故选：A．

点评：本题考查了两圆相切的性质、双曲线的离心率，属于难题．