Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=2，前n项和为S_n，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函数上y=x+2的图象上，则$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=（　　）

• A． $\frac{n（n+1）}{2}$
• B． $\frac{2n}{n+1}$
• C． $\frac{2}{n（n+1）}$
• D． $\frac{n}{n+1}$

Answer 1

分析 根据点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函数上y=x+2的图象上，求出a_n的通项公式，然后再求出s_n的表达式，进而求得答案．

解答 解：∵点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函数上y=x+2的图象上，
∴a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₁=2，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=2n+n（n-1）=n（n+1），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故选：D．

点评 本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是证明数列{a_n}是等差数列，然后求出等差数列的前n项和，然后在用裂项求和，属于中档题．