【题目】已知函数
．
（1）若
，求
在
处的切线方程；
（2）若
在区间
上恰有两个零点，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】试题分析：（1）求出
，利用导数的几何意义求切线斜率为
，根据点斜式可得切线方程；（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，利用
在区间
上恰有两个零点列不等式组，求解不等式组即可求
的取值范围.
试题解析：（1）由已知得
,
若
时，有
， 
,
∴在
处的切线方程为： 
，化简得
.
（2）由（1）知
，
因为
且
，令
，得
所以当
时，有
，则
是函数
的单调递减区间；、
当
时，有
，则
是函数
的单调递增区间． 9分
若
在区间
上恰有两个零点，只需
，即
,
所以当
时， 
在区间
上恰有两个零点.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数零点问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出
在
处的导数，即
在点
出的切线斜率（当曲线
在
处的切线与
轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为
）；（2）由点斜式求得切线方程
.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按
进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：
（Ⅰ）求表中
，
，
的值，并估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（成绩在
内为及格）；
（Ⅱ）设茎叶图中成绩在
范围内的样本的中位数为
，若从成绩在范围内的样品中每次随机抽取1个，每次取出不放回，连续取两次，求取出两个样本中恰好一个是数字的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地，生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示：
资源 | 资金（万元） | 场地（平方米） |
A | 2 | 100 |
B | 35 | 50 |
现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A种产品可获利润3万元；生产每吨B种产品可获利润2万元，分别用x，y表示计划生产A、B两种产品的吨数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问A、B两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知数列{an}满足a1=
,an+1=3an-1(n∈N*).
(1)若数列{bn}满足bn=an-
,求证:{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在锐角△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2asinB= 
b． （Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a= 
，△ABC的面积为 
，求△ABC的周长．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知数列{an}满足（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1），a1=2，令 
．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知二次函数
对任意实数
，都有
恒成立.
（Ⅰ）证明： 
；
（Ⅱ）若
，求
的表达式；
（Ⅲ）在题（Ⅱ）的条件下设
，若
图象上的点都位于直线
的上方，求实数
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c（a≤b≤c），且bcosC+ccosB=2asinA． （Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求证： 
；
（Ⅲ）若a=b，且BC边上的中线AM长为 
，求△ABC的面积．
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