Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，试求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna．
∵f'（0）=0，且a＞1．
当x＞0时，lna＞0，a^x-1＞0?f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当x＜0时，lna＞0，a^x-1＜0?f'（x）＜0．
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）当a＞1时，由（Ⅰ）可知：f（x）在x=0处取得最小值，又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））_min=f（0）=1，由此可解得：t=2．
（Ⅲ）因为存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
因此当x∈[-1，1]时，有：|（f（x））_max-（f（x））_min|=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1．
又由（Ⅰ）知：f（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，
故当x∈[-1，1]时，（f（x））_min=f（0）=1，（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，
而f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(

1

a

+1+lna)=a-

1

a

-2lna．
记g(t)=t-

1

t

-2lnt (t≥1)，因为g(t)′=1+

1

t2

-

2

t

=(

1

t

-1)2≥0（当t=1时取等号）
因此g(t)=t-

1

t

-2lnt在t∈[1，+∞）上单调递增，而g（1）=0，故当t＞1时，g（t）＞0；即当a＞1时，f（1）＞f（-1）
由f（1）-f（0）≥e-1?a-lna≥e-1?a≥e，综上所述，所求a的取值范围为[e，+∞）．