Question

17．已知点M（3，-6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线C的方程；
（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y²=12x联立化简整理可得：4x²-8x+1=0，即可求线段AB的长．

解答 解：（1）依题意可设：抛物线C的方程为y²=2px（p＞0）
由点M（3，-6）在抛物线C上可得：（-6）²=2p×3=6p，
∴p=6．
故所求抛物线C的方程为y²=12x；
（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y²=12x联立化简整理可得：4x²-8x+1=0
∴x=1±$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由弦长公式可得：|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{3}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．