Question

2．设a＞0，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$-$\frac{a}{{e}^{x}}$是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明：y=f（x）-2x在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）是R上的奇函数，f（0）=0，即可求出a的值；
（2）对函数y求导数，利用基本不等式即可判断导数大于或等于0恒成立，从而得出函数y是单调增函数．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$-$\frac{a}{{e}^{x}}$是R上的奇函数，
∴f（0）=$\frac{1}{a}$-a=0，
解得a=±1，
又a＞0，∴a=1；
（2）证明：∵y=f（x）-2x=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$-2x，
∴y′=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-2≥2$\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$-2=0，
∴函数y=f（x）-2x在（0，+∞）上是单调增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性问题，是基础题目．