Question

7．已知定义在R上的函数f（x）的图象既关于点（0，0）对称，又关于直线x=1对称．
（1）试证明函数f（x）是周期函数；
（2）若当x∈（0，1]时f（x）=x，求函数f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 （1）图象关于原点对称，从而得到f（-x）=-f（x），而图象关于直线x=1对称便有f（-x）=f（x+2），这样即可得出f（x）=f（x+4），即得出f（x）是周期为4的周期函数；
（2）根据f（x）的对称性可以得出f（x）在一个周期[-1，3]上的图象，根据图象可写出f（x）在[-1，3]上的解析式，而通过平移便可得出f（x）在R上的图象，根据f（x）的周期为4及平移过程即可写出f（x）在R上的解析．

解答 解：（1）证明：f（x）关于原点对称，∴f（-x）=-f（x）；
f（x）的图象关于x=1对称，∴f（-x）=f（x+2）；
∴-f（x）=f（x+2）；
∴f（x）=-f（x+2）=f（x+4）；
即f（x+4）=f（x）；
∴f（x）是周期为4的周期函数；
（2）根据条件及f（x）的对称性，作出f（x）在一个周期[-1，3]上的图象如下：

向左向右平移k个周期（k∈N^*）便可得出f（x）在R上的图象；
f（x）在[-1，3]上的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}&{-1≤x≤1}\\{-x-2}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$；
∴f（x）在R上的解析式$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x+4k}&{-1-4k≤x≤1-4k}\\{-x-4k-2}&{1-4k＜x≤2-4k}\end{array}\right.$，k∈Z．

点评 考查函数图象关于原点对称时有f（-x）=-f（x），图象关于x=a对称时有f（-x）=f（x+2a），以及周期函数的定义，由一个周期上的图象平移周期的整数倍得出f（x）在R上的图象的方法，分段函数的定义及形式．