Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，$A（6，0），C（1，\sqrt{3}）$，点M满足$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．
（Ⅰ）求∠OCM的余弦值；
（Ⅱ）是都存在实数λ，使$（{\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}}）⊥\overrightarrow{CM}$，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式得答案；
（Ⅱ）设出P的坐标$P（t，\sqrt{3}）$，由$（{\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}}）⊥\overrightarrow{CM}$，可得其数量积为0，转化为λ关于t的函数式求解．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得$\overrightarrow{OA}=（6，0），\overrightarrow{OC}=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}=（3，0）$，
$\overrightarrow{CM}=（2，-\sqrt{3}），\overrightarrow{CO}=（-1，-\sqrt{3}）$，
故$cos∠OCM=cos＜\overrightarrow{CO}，\overrightarrow{CM}＞$=$\frac{\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{CO}||\overrightarrow{CM}|}=\frac{\sqrt{7}}{14}$；
（Ⅱ）设$P（t，\sqrt{3}）$，其中1≤t≤5，
$λ\overrightarrow{OP}=（λt，\sqrt{3}λ）$，$\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OP}=（6-λt，-\sqrt{3}λ）$，$\overrightarrow{CM}=（2，-\sqrt{3}）$，
若$（{\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}}）⊥\overrightarrow{CM}$，则$（\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}）•\overrightarrow{CM}=0$，即12-2λt+3λ=0，
可得（2t-3）λ=12．
若t=$\frac{3}{2}$，则λ不存在；
若t$≠\frac{3}{2}$，则$λ=\frac{12}{2t-3}$，
∵t∈[1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}，5$]，
∴λ∈（-∞，-12]∪[$\frac{12}{7}，+∞$）．
∴实数λ的取值范围是（-∞，-12]∪[$\frac{12}{7}，+∞$）．

点评 本题考查平面向量数量积运算，考查了由数量积求斜率的夹角，训练了函数值域的求法，是中档题．