Question

8．在正四面体ABCD中，有如下四个命题：①AB⊥CD；②该四面体外接球的半径与内切球半径之比为2：1；③分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H并顺次连结所得四边形是正方形；④三组对棱中点的连线段交于一点并被该点平分．则其中为真命题的序号为①③④．（填上你认为是真命题的所有序号）．

Answer 1

分析 ①利用正四面体的定义和三垂线定理判断正误即可；
②设正四面体ABCD的边长为a，其外接球的半径为R，内切切的半径为r，由正四面体放到正方体中，正方体的体对角线即为外接球的直径，以及通过体积分割，运用棱锥的体积公式可得内切球的条件，求出结果判断正误即可；
③由中位线定理和正四面体的性质：对角线互相垂直，即可判断；
④利用③的结论和正方形的对角线垂直平分，判断正误即可．

解答 解：对于①，由正四面体的定义可得，A在底面BCD的射影为底面的中心，由三垂线定理可得AB⊥CD，
所以①正确；
对于②，设正四面体ABCD的边长为a，其外接球的半径为R，内切切的半径为r，则正四面体的边长可看成是正方体的面对角线，外接球的直径即为体对角线的长，即有2R=$\sqrt{3}$$•\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a；由内切球的球心与正四面体的表面构成四个三棱锥，由体积分割可得$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²•$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=4•$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²•r，解得r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，即有R：r=3：1，
所以②不正确；
对于③，由中位线定理可得EF∥AC，EF=AC，且GH∥AC，GH=AC，即有四边形EFGH为平行四边形，又由正四面体的性质可得AC⊥BD，即有四边形EFGH为正方形，所以③正确；
对于④，由③可得正方形EFGH对角线交于一点且平分，同理对棱AC，BD和对棱AB，CD的中点连线也互相平分，
则三组对棱中点的连线段交于一点并被该点平分，所以④正确．
故答案为：①③④

点评 本题考查正四面体的性质和内切球与外接球的半径的关系，考查直线与直线的位置关系，考查推理和判断能力，属于中档题和易错题．