Question

13．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间和最小值；
（Ⅱ）设函数h（x）=$\frac{f（x）}{x+1}$，若对任意x∈[1，+∞），h（x）≤m（x-1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得f′（x）=lnx+1（x＞0），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和最小值，
（Ⅱ）h（x）≤m（x-1）恒成立，等价于lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），构造函数g（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），即对任意x∈[1，+∞），g（x）≤0，利用导数，分类讨论即可求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=1+lnx，…．（1分）
令f′（x）=1+lnx＞0解得，x＞$\frac{1}{e}$；
故f（x）的单调增区间为（$\frac{1}{e}$，+∞）；
f（x）的单调减区间为（0，$\frac{1}{e}$）；…..（3分）
故f（x）的最小值为f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；…（4分）
（Ⅱ）∵h（x）=$\frac{f（x）}{x+1}$，h（x）≤m（x-1）
由题可得lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$）…（5分）
设g（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），即对任意x∈[1，+∞），g（x）≤0．
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-m（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-m{x}^{2}+x-m}{{x}^{2}}$…（6分）
①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾…（7分）
②若m＞0方程-mx²+x-m=0的判别式△=1-4m²，
当△≤0，即m≥$\frac{1}{2}$时，g′（x）≤0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立…（9分）
当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，方程-mx²+x-m=0，其两根x₁，x₂满足：0＜x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$＜1，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$＞1，
当x∈（1，x₂）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾…（11分）
综上所述，m$≥\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题