Question

已知函数．

（1）若，求函数的极小值；

（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？

 

Answer 1

（1）极小值为2；（2）不存在，详见解析．

【解析】

试题分析：（1）由a=4，得函数f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；（2）若定义域内存在三个不同的自变量的取值xi（i=1，2，3），使得f（xi）-g（xi）的值恰好都相等，设f（xi）-g（xi）=m．（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三个不等的实数，由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值xi（i=1，2，3）使得f（xi）-g（xi）的值恰好都相等．

【解析】
（1）定义域为，由已知得， 2分

则当时， 在上是减函数，

当时， 在上是增函数，

故函数的极小值为． 6分

（2）若存在，设，

则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，

设，

则函数的图象与x轴有三个不同交点，

即在有两个不同的零点．9分

显然在上至多只有一个零点

则函数的图象与x轴至多有两个不同交点，则这样的不存在。 13分

考点：1．函数在某点取得极值的条件；2．根的存在性及根的个数判断．