Question

已知椭圆

x2

m2

+

y2

16

=1（m＞0）和双曲线

x2

n2

-

y2

9

=1（n＞0）有相同的焦点F₁，F₂，点P为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF₁||PF₂|的值为（　　）

• A、16
• B、25
• C、9
• D、不为定值

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据椭圆和双曲线有相同的焦点F₁、F₂，得到m²-n²=25；再根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．

解答： 解：因为椭圆

x2

m2

+

y2

16

=1（m＞0）和双曲线

x2

n2

-

y2

9

=1（n＞0）有相同的焦点F₁、F₂，
所以有：m²-16=n²+9⇒m²-n²=25
设P在双曲线的右支上，左右焦点F₁、F₂：
利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2m   ①
|PF₁|-|PF₂|=2n    ②
由①②得：|PF₁|=m+n，|PF₂|=m-n．
所以|PF₁|•|PF₂|=m²-n²=25．
故选：B．

点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆和双曲线有相同的焦点F₁、F₂，利用定义化简．