Question

18．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1，若A₁C与平面B₁BCC₁所成的角为$\frac{π}{6}$，则三棱锥A₁-ABC的体积为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 由已知可得A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，连接B₁C，则∠A₁CB₁为A₁C与平面B₁BCC₁所成的角为$\frac{π}{6}$，求解直角三角形得到BB₁，再由棱锥体积公式求得三棱锥A₁-ABC的体积．

解答 解：如图，

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵∠ABC=90°，
A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，连接B₁C，则∠A₁CB₁为A₁C与平面B₁BCC₁所成的角为$\frac{π}{6}$，
∵A₁B₁=AB=1，∴${B}_{1}C=\sqrt{3}$，
又BC=1，∴$B{B}_{1}=\sqrt{2}$．
∴${V}_{{A}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，考查直角三角形的解法，是中档题．