Question

定义在实数集R上的函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(a-4)x2+2(2-a)x+a与y轴的交点为A，点A到原点的距离不大于1；
（1）求a的范围；
（2）是否存在这样的区间，使对任意a，f（x）在该区间上为增函数？若存在，求出该区间，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数图象与y轴交点为（0，a），则|a|≤1，从而可求
（2）对函数求导，由函数f（x）在该区间上为增函数可得f'（x）＞0对任意的a∈[-1，1]恒成立，构造关于a的函数g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0对任意的a∈[-1，1]恒成，结合一次函数的性质可求x的范围

解答：解：（1）函数图象与y轴交点为（0，a），则|a|≤1，∴-1≤a≤1；------------------（3分）
（2）f'（x）=x²+（a-4）x+2（2-a）=（x-2）a+x²-4x+4，---------------（7分）
令f'（x）＞0对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即不等式g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0对任意的a∈[-1，1]恒成立，---（9分）
其充要条件是：

g(1)=x2-3x+2＞0 g(-1)=x2-5x+6＞0

，------------（11分）
解得x＜1，或x＞3．--------------（13分）
所以当x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0对任意a∈[-1，1]恒成立，
所以对任意a∈[-1，1]函数f（x）均是单调增函数．--------------（14分）
故存在区间（-∞，1）和（3，+∞），对任意a∈[-1，1]，f（x）在该区间内均是单调增函数．

点评：本题主要考查了利用导数与函数 的单调性的关系的应用，解题的关键是根据导数的知识得到f'（x）＞0对任意的a∈[-1，1]恒成立时，构造关于a的一次函数进行求解，体现了转化的思想在解题中的应用．