【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:
对于任意的
成立.
【答案】(Ⅰ)当时,函数
在
上单调递增,在
内单调递减;
当时,函数
在
上单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增;
当时,函数
在
上单调递增;
当,
在
单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增.
(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析: 对函数
求导,对
分类讨论函数的单调性;
构造函数
,对构造函数的两部分
,
分别求导讨论单调性及取值范围,则
,得证。
解析:(Ⅰ)的定义域为
;
.
当,
时,
,
单调递增;
,
单调递减.当
时,
.
(1),
,
当或
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减;
(2)时,
,在
内,
,
单调递增;
(3)时,
,
当或
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
综上所述,
当时,函数
在
内单调递增,在
内单调递减;
当时,
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增;
当时,
在
内单调递增;
当,
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,时,
,
,
令,
.
则,
由可得
,当且仅当
时取得等号.
又,
设,则
在
单调递减,因为
,
所以在上存在
使得
时,
时,
,
所以函数在
上单调递增;在
上单调递减,
由于,因此
,当且仅当
取得等号,
所以,
即对于任意的
恒成立
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【题目】已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F,延长B1F与AB2交于点P,若∠B1PA为钝角,则此椭圆的离心率e的取值范围为_____.
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【题目】如图,在多面体中,底面
为正方形,四边形
是矩形,平面
平面
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若过直线的一个平面与线段
和
分别相交于点
和
(点
与点
均不重合),求证:
;
(3)判断线段上是否存在一点
,使得平面
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知f(x)=e2x+ln(x+a).
(1)当a=1时,①求f(x)在(0,1)处的切线方程;②当x≥0时,求证:f(x)≥(x+1)2+x.
(2)若存在x0∈[0,+∞),使得 成立,求实数a的取值范围.
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【题目】在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
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【题目】2017年3月14日,“共享单车”终于来到芜湖,
共享单车又被亲切称作“小黄车”是全球第一个无桩共享单车平台,开创了首个“单车共享”模式.相关部门准备对该项目进行考核,考核的硬性指标是:市民对该项目的满意指数不低于
,否则该项目需进行整改,该部门为了了解市民对该项目的满意程度,随机访问了使用共享单车的
名市民,并根据这
名市民对该项目满意程度的评分(满分
分),绘制了如下频率分布直方图:
(I)为了了解部分市民对“共享单车”评分较低的原因,该部门从评分低于分的市民中随机抽取
人进行座谈,求这
人评分恰好都在
的概率;
(II)根据你所学的统计知识,判断该项目能否通过考核,并说明理由.
(注:满意指数=)
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【题目】设椭圆(
)的右焦点为
,右顶点为
,已知
,其中
为原点,
为椭圆的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与椭圆交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
,若
,且
,求直线的
斜率.
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【题目】某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医、方便管理” 的原则,规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有三家社区医院,并且他们的选择是等可能的、相互独立的.
(1)求甲、乙两人都选择社区医院的概率;
(2)求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率;
(3)设在4名参加保险人员中选择社区医院的人数为
,求
的分布列和数学期望及方差.
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【题目】已知直线l1:x+2y+1=0,l2:-2x+y+2=0,它们相交于点A.
(1)判断直线l1和l2是否垂直?请给出理由.
(2)求过点A且与直线l3:3x+y+4=0平行的直线方程.
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