Question

设椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率e;

(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点.若直线PF2与圆(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.

Answer 1

解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),

因为|PF2|=|F1F2|,

所以=2c,

整理得2（）2+-1=0,

得=-1(舍去),或=,

所以e=.

(2)由(1)知a=2c,b=c,

可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,

直线PF2的方程为y=(x-c).

A、B两点的坐标满足方程组

消去y并整理,得5x2-8cx=0,

解得x1=0,x2=c.

得方程组的解　

不妨设A（c,c）,B(0,-c),

所以|AB|==c.

于是|MN|=|AB|=2c.

圆心(-1, )到直线PF2的距离

d==.

因为d2+=42,

所以(2+c)2+c2=16.

整理得7c2+12c-52=0,

解得c=-(舍去)或c=2.

所以椭圆方程为+=1.