Question

9．已知a，b（a≠b）都是正有理数，$\sqrt{a}，\sqrt{b}$都是无理数．
（1）判断$\sqrt{a}•\sqrt{b}$是否可能是有理数，请举例说明；
（2）求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}$不可能是有理数．

Answer 1

分析 （1）例如a=2，b=8，都是正有理数，$\sqrt{2}，\sqrt{8}=2\sqrt{2}$都是无理数，而$\sqrt{a}•\sqrt{b}=\sqrt{2}•2\sqrt{2}=4$是有理数；
（2）利用反证法，即可证明．

解答 解：（1）$\sqrt{a}•\sqrt{b}$是否可能是有理数，例如a=2，b=8，都是正有理数，$\sqrt{2}，\sqrt{8}=2\sqrt{2}$都是无理数，
而$\sqrt{a}•\sqrt{b}=\sqrt{2}•2\sqrt{2}=4$是有理数
（2）假设$\sqrt{a}+\sqrt{b}$是有理数，设$\sqrt{a}+\sqrt{b}=x$，
则$\sqrt{a}=x-\sqrt{b}$，两边平方得$a={x^2}-2\sqrt{b}x+b$
∴$\sqrt{b}=\frac{{{x^2}-a+b}}{2x}$，
上式左边是无理数，右边是有理数，矛盾．
∴$\sqrt{a}+\sqrt{b}$不可能是有理数．

点评 此题主要考查了反证法，正确利用反证法的一般步骤求出是解题关键．