Question

1．已知直线l⊥x轴，且与抛物线y²=2x相交于A，B两个不同的点．
（1）求证：命题“如果直线l过点F（3，0），那么$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题和命题的否定，并判断它们是真命题还是假命题？

Answer 1

分析 （1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，
（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A，B两点的坐标根据向量运算求证即可．

解答 （1）证明：设过点T（3，0）的直线l交抛物线y²=2x于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=3，
此时，直线l与抛物线相交于点A（3，$\sqrt{6}$）、B（3，-$\sqrt{6}$）．
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=9-6=3；
（2）解：由题可知，（1）中命题的逆命题是：“直线l交抛物线y²=2x于A，B两点，如果$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3，那么直线l过点（3，0）”是真命题；
∵直线l⊥x轴，∴设A（x，$\sqrt{2}$x），B（x，-$\sqrt{2}$x）（x＞0），
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3，
∴x²-2x=3，
∴x=3，
∴直线l过点（3，0）．
命题的否定：如果直线l过点F（3，0），那么$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$≠3，是假命题．

点评 考查抛物线的标准方程，直线方程，以及向量数量积的坐标运算，比较基础．