Question

19．已知向量m$\overrightarrow{m}$（sin$\frac{x}{2}$，1），$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$???
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（α-$\frac{2π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，求f（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积公式得出f（x）的解析式并化简，利用三角函数的周期公式得出；
（2）由条件可得sin$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{3}$，利用二倍角公式得出cosα，根据诱导公式化简f（2α+$\frac{π}{3}$）即可得出．

解答 解：（1）f（x）=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
（2）∵f（α-$\frac{2π}{3}$）=2sin（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$，∴sin$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∴cosα=1-2sin²$\frac{α}{2}$=$\frac{7}{9}$，
∴f（2α$+\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{2}$）=2cosα=$\frac{14}{9}$．

点评 本题考查了三角函数性质，三角恒等变换，属于中档题．