Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=5，nS_n+1-（n+1）S_n=n²+n．
（Ⅰ）求证：数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}为等差数列；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{（2n+1）{a}_{n}}$，判断{b_n}的前n项和T_n与$\frac{1}{6}$的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）由nS_n+1-（n+1）S_n=n²+n．化为：$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，$\frac{{S}_{1}}{1}$=5．即可证明．
（II）由（I）可得：S_n=n（n+4）．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+3．（n=1时也成立）．可得b_n=$\frac{1}{（2n+1）{a}_{n}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．

解答 （I）证明：由nS_n+1-（n+1）S_n=n²+n．化为：$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，$\frac{{S}_{1}}{1}$=5．
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}为等差数列，首项为5，公差为1．
（II）解：由（I）可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=5+（n-1）=n+4．
∴S_n=n（n+4）．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+4）-（n-1）（n+3）=2n+3．（n=1时也成立）．
∴a_n=2n+3．
b_n=$\frac{1}{（2n+1）{a}_{n}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$＜$\frac{1}{6}$．
∴T_n＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式与求和公式、数列递推关系、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．