Question

5．甲、乙、丙、丁四名同学志愿到A，B两个社区进行服务，他们每人将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，若向上的点数为5或6，则该同学去A社区，否则去B社区．
（1）求甲、乙、丙、丁四名同学中恰有1人去A社区的概率；
（2）设X表示去A社区的人数，Y表示去B社区的人数，记ξ=X•Y，求随机变量ξ的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意知这4人中每个人去A社区的概率为$\frac{1}{3}$，去B社区的概率为$\frac{2}{3}$，
利用n次独立重复实验恰有k次发生的概率计算即可；
（2）由题意ξ的可能取值，分别求出相应的概率，
由此求出随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

解答 解：（1）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，向上的点数为5或6的概率是
P=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$，
甲、乙、丙、丁四名同学中恰有1人去A社区的概率为
P′=${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（1-\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{32}{81}$；
（2）设X表示去A社区的人数，Y表示去B社区的人数，记ξ=X•Y，
则ξ的可能取值为0，3，4，
P（ξ=0）=P（A₀）+P（A₄）=${（\frac{2}{3}）}^{4}$+${（\frac{1}{3}）}^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（ξ=3）=P（A₁）+P（A₃）=${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${C}_{4}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=P（A₂）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{24}{81}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

数学期望为Eξ=0×$\frac{17}{81}$+3×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{24}{81}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题．