Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=49，5是a₁和a₅的等差中项．
（1）求a_n与S_n
（2）证明：当n≥2时，有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知列式求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；
（2）由

1

n2

＜

1

(n-1)n

把数列的项放大，然后利用裂项相消法求和，再放缩得答案．

解答： （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₇=49，5是a₁和a₅的等差中项，得

7a1+ 7×6d 2 =49 a1+a1+4d=10

，解得：

a1=1 d=2

．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，Sn=n+

2n(n-1)

2

=n2；
（2）证明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

．
当n=2时，

1

S1

+

1

S2

=1+

1

4

=

5

4

＜

7

4

；
当n≥3时，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

5

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=

5

4

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．