Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

（ω＞0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x	①	2 3 π		5 3 π
f（x）	0	1	0	-1	0

（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f（x）在区间[-

π

2

，

π

3

]上的值域；
（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A+

π

3

）=1，b+c=4，a=

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）①处应填入

π

6

．利用倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性周期性即可得出；
（II）利用三角函数的单调性、特殊角的三角函数值可得A，再利用余弦定理、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）①处应填入

π

6

．
f(x)=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)．
∵T=2(

5π

3

-

2π

3

)=2π，
∴

2π

2ω

=2π，ω=

1

2

，
即f(x)=sin(x-

π

6

)．
∵x∈[-

π

2

，

π

3

]，∴-

2π

3

≤x-

π

6

≤

π

6

，∴-1≤sin(x-

π

6

)≤

1

2

，
从而得到f（x）的值域为[-1，

1

2

]．
（Ⅱ）∵f(A+

π

3

)=sin(A+

π

6

)=1，
又0＜A＜π，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
得A+

π

6

=

π

2

，A=

π

3

．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=(b+c)2-2bc-bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，
即(

7

)2=42-3bc，∴bc=3．
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

．

点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．