Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知

a

3 cosA

=

c

sinC

=

a

sinA

．
（1）求A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由

a

3 cosA

=

c

sinC

=

a

sinA

，可得

3

cosA=sinA，化为tanA=

3

，解出即可．
（II）由已知及其正弦定理可得b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，b+c=4

3

sinB+4

3

sinC=12sin(B+

π

6

)．利用正弦函数的单调性即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

3 cosA

=

c

sinC

=

a

sinA

，
∴

3

cosA=sinA，
∴tanA=

3

，
∵0＜A＜π
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

6

3 cos π 3

=4

3

，
∴b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，
∴b+c=4

3

sinB+4

3

sinC
=4

3

[sinB+sin(π-A-B)]=4

3

[sinB+sin(

π

3

+B)]
=12sin(B+

π

6

)．
∵

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴6＜12sin(B+

π

6

)≤12
即：b+c∈（6，12]．

点评：本题考查了正弦定理解三角形，考查了三角函数的性质与计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．