Question

3．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{3}$，cos$\frac{x}{3}）$，$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{3}$，cos$\frac{x}{3}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）若函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且a=2，（2a-b）cosC=ccosB，$f（A）=\frac{3}{2}$，求c．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．向量的运算，求出f（x）的解析式，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）利用正弦函数化简（2a-b）cosC=ccosB，根据$f（A）=\frac{3}{2}$，求出角A，正弦定理求出c．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{3}$，cos$\frac{x}{3}）$，$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{3}$，cos$\frac{x}{3}$），
∵f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{3}cos\frac{x}{3}+{cos^2}\frac{x}{3}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{2x}{3}+\frac{1}{2}（cos\frac{2x}{3}+1）$=$sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{2}{3}}$=3π，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{2x}{3}+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$-π+3kπ≤x≤\frac{π}{2}+3kπ$，
∴f（x）的单调递增区间为$[-π+3kπ，\frac{π}{2}+3kπ]$（k∈Z）；
（2）∵（2a-b）cosC=ccosB，
由正弦定理，得：2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sinA，
∵0＜A＜π，0＜C＜π．
∴sinA＞0，
∴$cosC=\frac{1}{2}$，
∴$C=\frac{π}{3}$，
又∵$f（A）=\frac{3}{2}$，即$f（A）=sin（\frac{2A}{3}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
∴$sin（\frac{2A}{3}+\frac{π}{6}）=1$，
∴$\frac{2A}{3}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴$A=\frac{π}{2}$，
正弦定理，可得：$c=asinC=2sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化解和计算能力，性质的运用和正弦定理的计算．属于中档题．