Question

已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F₁（0，-1），离心率为

3

3

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F₁作直线交椭圆于A，B两点，F₂是椭圆的另一个焦点，求S△ABF2的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由焦点求得c=1，再由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为：y=kx-1，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，求出|x₁-x₂|的范围，注意运用单调性求范围，再由面积公式，即可得到所求范围．

解答： 解：（1）椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F₁（0，-1），
即有c=1，且离心率为

3

3

，即有

c

a

=

3

3

，
解得，a=

3

，则b=

a2-c2

=

2

，
则椭圆方程为

y2

3

+

x2

2

=1；
（2）设直线AB的方程为：y=kx-1，
联立椭圆方程，消去y，得，（3+2k²）x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=

4k

3+2k2

，x₁x₂=

-4

3+2k2

，
则|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

16k2 (3+2k2)2 + 16 3+2k2

=4

3

•

1+k2

3+2k2

，令t=

1+k2

（t≥1），
则|x₁-x₂|=4

3

•

t

1+2t2

=4

3

•

1

2t+ 1 t

，
（2t+

1

t

）′=2-

1

t2

＞0在t≥1成立，即有2t+

1

t

≥3，
则有|x₁-x₂|的范围是（0，

4 3

3

]．
则S△ABF2=

1

2

|x1-x2|×2c=|x₁-x₂|，
即有S△ABF2的取值范围是（0，

4 3

3

]．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理解题，考查导数的运用，判断单调性，再由单调性求范围，属于中档题．