Question

7．已知等比数列{a_n}满足2（a₃+a₄）=2-a₁-a₂，则数列{a_n}前6项和的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n．由2（a₃+a₄）=2-a₁-a₂，可得S₂=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$．则数列{a_n}前6项和=S₂（1+q²+q⁴）=$\frac{2{q}^{4}+2{q}^{2}+2}{2{q}^{2}+1}$，化简利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n．
∵2（a₃+a₄）=2-a₁-a₂，
∴2q²S₂=2-S₂，∴S₂=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$．
则数列{a_n}前6项和S₆=S₂（1+q²+q⁴）=$\frac{2{q}^{4}+2{q}^{2}+2}{2{q}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$$（2{q}^{2}+1+\frac{3}{2{q}^{2}+1}）$≥$\frac{1}{2}×2\sqrt{（2{q}^{2}+1）×\frac{3}{2{q}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，当且仅当q²=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$时取等号．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．