Question

已知函数.

（1）当时，求的值域；

（2）当,时，函数的图象关于对称，求函数的对称轴；

（3）若图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得的图象，又知的所有正根从小到大依次为，，…，…且，求的解析式.

Answer 1

解：（1）当时，

①当时，值域为：      ②  当时，值域为：

（2）当，时，且图象关于对称。

∴     ∴函数即：∴   由

∴函数的对称轴为：

（3）由

（其中，）

由图象上有一个最低点，所以

∴     ∴

又图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得的图象，则

又∵的所有正根从小到大依次为，，…，…，且

所以与直线的相邻交点间的距离相等，根据三角函数的图象与性质可得以下情况：

（1）直线要么过的最高点或最低点.

即或（矛盾），

当时，函数的,        

直线和相交，且，周期为3（矛盾）

（2）经过的对称中心

即，

当时，函数    

直线和相交，且，周期为6（满足）

综上：.