Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

2

，

2

a 2 n

=

1

a 2 n+1

+

1

a 2 n-1

（n≥2），则a₆=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由题设知

1

an+12

-

1

an2

=

1

an2

-

1

an-12

，可知数列{

1

an2

}为等差数列，首项为1，公差d=

1

a22

-

1

a12

=4-1=3，故

1

an2

=3n-2，继而求出a₆，

解答： 解：∵a₁=1，a₂=

1

2

，

2

a 2 n

=

1

a 2 n+1

+

1

a 2 n-1

（n≥2），
∴

1

an+12

-

1

an2

=

1

an2

-

1

an-12

，
∴数列{

1

an2

}为等差数列，首项为1，公差d=

1

a22

-

1

a12

=4-1=3，
∴

1

an2

=1+3（n-1）=3n-2，
∴

1

a62

=16，
∵{a_n}正项数列，
∴a₆=

1

4

，
故答案为：

1

4

点评：本题考查数列的递推式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质和应用．