Question

已知双曲线C₁：

x2

a2

-8y²=1（a＞0）的离心率是

2

，抛物线C₂：y²=2px的准线过C₁的左焦点．
（1）求抛物线C₂的方程；
（2）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，4）是C₂上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）双曲线C₁：

x2

a2

-8y²=1（a＞0）的离心率是

2

，所以a²=

1

8

，c²=

1

4

，即可求抛物线C₂的方程；
（2）求出A，B的坐标，可得直线AB的方程，即可得出结论．

解答： 解：（1）因为双曲线C₁：

x2

a2

-8y²=1（a＞0）的离心率是

2

，
所以a²=

1

8

，c²=

1

4

，…（2分）
所以抛物线C₂：y²=2px的准线方程是x=-

1

2

，
所以p=1，抛物线C₂的方程是y²=2x．         …（4分）
（2）不妨设C（8，4），
设AC的斜率为k，则直线AC的方程是y-4=k（x-8），
x=

y2

2

代入并整理，得ky²-2y+8-8k=0，
方程的两根是4和

2

k

-4，所以y₁=

2

k

-4，x₁=

2(2k-1)2

k2

，
A点的坐标是（

2(2k-1)2

k2

，

2

k

-4），
同理可得B点的坐标（2（2+k）²，-2k-4），…（7分）
直线AB的斜率k_AB=

-k

k2+4k-1

，
直线AB的方程是y-（-2k-4）=

-k

k2+4k-1

[x-2（2+k）²]，
即y=

-k

k2+4k-1

（x-10）-4，…（9分）
直线AB过定点，定点坐标是（10，-4）．　        …（10分）

点评：本题主要考查了直线与曲线方程的位置关系及方程思想的转化，方程的根与系数的关系的应用，抛物线的定义的应用．综合的知识的较多，还有具备一定的计算及推理的能力．