Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首项为0，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$（n∈N^*），对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式可得S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（II）由b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{4}{15}$•（-2）^n-1，可得：b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1，2b_2k-1=b_2k+b_2k+1，可得：b_2k，b_2k-1，b_2k+1三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k=b_2k+1-b_2k-1，化简即可证明．

解答 （I）解：由验证可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=0+（n-1）×$\frac{1}{2}$，∴S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴当n=1时，a₁=S₁=0，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n-1）}{2}$-$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$=n-1，
∴a_n=n-1．
（II）证明：b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{4}{15}$•（-2）^n-1，
∴b_2k-1=$\frac{4}{15}（-2）^{2k-2}$=$\frac{4}{15}•{2}^{2k-2}$，b_2k=$\frac{4}{15}•（-2）^{2k-1}$=-$\frac{4}{15}•{2}^{2k-1}$，b_2k+1=$\frac{4}{15}（-2）^{2k}$=$\frac{4}{15}•{2}^{2k}$．
∴b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1，∴2b_2k-1=b_2k+b_2k+1，
可得：b_2k，b_2k-1，b_2k+1三个元素排成一个递增的等差数列，
其公差为d_k=b_2k+1-b_2k-1=$\frac{4}{15}$（2^2k-2^2k-2）=$\frac{{4}^{k}}{5}$．
∴$\frac{{d}_{k+1}}{{d}_{k}}$=$\frac{\frac{{4}^{k+1}}{5}}{\frac{{4}^{k}}{5}}$=4，
∴数列{d_k}为等比数列．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．