Question

在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=e^x以及该曲线在x=2处的切线所围成图形的面积是（　　）

• A、e²
• B、e²-1
• C、

  1

  2

  e²
• D、

  1

  2

  e²-1

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：先根据导数的几何意义求出曲线y=e^x在x=2处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．

解答： 解：∵y=e^x，
∴y′|x=2=ex|x=2=e2，切点坐标为（2，e²）
∴曲线y=e^x在x=2处的切线方程为y-e²=e²（x-2），即y=e²x-e²．
∴由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=e^x以及该曲线在x=1处的切线所围成图形的面积
S=

∫

1 0

e^xdx+

∫

2 1

(ex-e2x+e2)dx=ex

|

1 0

+(ex-

1

2

e2x2+e2x)

|

2 1

=e-1+e²-e-2e2+

1

2

e2+2e²-e²
=

1

2

e2-1．
故选：D．

点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了利用定积分求图形面积的能力．应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属中档题．