Question

12．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点P到其焦点的距离为$\frac{3}{2}$，且点P在圆x²+y²=$\frac{9}{4}$上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）直线l过抛物线E的焦点F，交抛物线E于A、B两点，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线上存在一点P到其焦点的距离为$\frac{3}{2}$，且点P在圆x²+y²=$\frac{9}{4}$上，求出p，可求抛物线E的方程；
（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程 得：y²-4my-4=0，利用$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，确定坐标之间的关系，求出m，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀），则x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴x₀=$\frac{3}{2}$-$\frac{p}{2}$（2分）
∵点P在圆x²+y²=$\frac{9}{4}$上，∴（3-p）²+4p（3-p）=9，解得：p=2
∴抛物线的方程为y²=4x．（4分）
（2）解：设直线l的方程为x=my+1
代入抛物线方程 得：y²-4my-4=0（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，x₁+x₂=4m²+2
由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，得：（1-x₁，-y₁）=3（x₂-1，y₂）
即1-x₁=3（x₂-1），-y₁=3y₂（8分）
∴x₂=1-2m²，y₂=-2m（10分）
∴4m²=4-8m²，解得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线l的方程为$\sqrt{3}$x±y-$\sqrt{3}$=0．（12分）

点评 本小题主要考查向量坐标的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．